Publicado 05/10/2021 11:13CET

Solución para un viejo problema de geometría

En un icosaedro regular (violeta), seis diagonales interiores principales (líneas rojas) forman ángulos iguales entre sí.
En un icosaedro regular (violeta), seis diagonales interiores principales (líneas rojas) forman ángulos iguales entre sí. - ZILIN JIANG

   MADRID, 5 Oct. (EUROPA PRESS) -

   Un problema geométrico que ha desconcertado a los matemáticos durante al menos 70 años ha recibido solución por matemáticos del MIT (Instituto de Tecnología de Massachusetts).

   Las líneas equiangulares son líneas en el espacio que pasan por un solo punto y cuyos ángulos por pares son todos iguales. Representa en 2D las tres diagonales de un hexágono regular, y en 3D, las seis líneas que conectan los vértices opuestos de un icosaedro regular. Sin embargo, los matemáticos no se limitan a tres dimensiones.

   "En las grandes dimensiones, las cosas se ponen realmente interesantes y las posibilidades pueden parecer ilimitadas", dice el autor principal de la investigación Yufei Zhao, profesor asistente de matemáticas, en un comunicado.

   Pero no son ilimitados, según Zhao y su equipo de matemáticos del MIT, que buscaron resolver este problema sobre la geometría de las líneas en el espacio de alta dimensión. Es un problema que los investigadores han estado desconcertado durante al menos 70 años.

   Su avance determina el número máximo posible de líneas que se pueden colocar de modo que las líneas estén separadas por pares por el mismo ángulo dado. Zhao y su equipo han escrito un artículo sobre su investigación que se publicará en la edición de enero de 2022 de Annals of Mathematics.

   Las matemáticas de las líneas equiangulares se pueden codificar utilizando la teoría de grafos. El artículo proporciona nuevos conocimientos sobre un área de las matemáticas conocida como teoría de grafos espectrales, que proporciona herramientas matemáticas para estudiar redes. La teoría del gráfico espectral ha llevado a importantes algoritmos en informática, como el algoritmo PageRank de Google para su motor de búsqueda.

   Esta nueva comprensión de las líneas equiangulares tiene implicaciones potenciales para la codificación y las comunicaciones. Las líneas equiangulares son ejemplos de "códigos esféricos", que son herramientas importantes en la teoría de la información, que permiten que diferentes partes se envíen mensajes entre sí a través de un canal de comunicación ruidoso, como los enviados entre la NASA y sus rovers de Marte.

   El problema de estudiar el número máximo de líneas equiangulares con un ángulo dado se introdujo en un artículo de 1973 de P.W.H. Lemmens y J.J. Seidel.

   "Este es un resultado hermoso que proporciona una respuesta sorprendentemente nítida a un problema bien estudiado en geometría extrema que recibió una cantidad considerable de atención a partir de los años 60", dice Noga Alon, profesor de matemáticas de la Universidad de Princeton.

TEORÍA DE GRAFOS

   Una de las herramientas matemáticas clave utilizadas en la solución se conoce como teoría de grafos espectrales. La teoría de grafos espectrales nos dice cómo usar herramientas del álgebra lineal para comprender gráficos y redes. El "espectro" de un gráfico se obtiene convirtiendo un gráfico en una matriz y observando sus valores propios.

   "Es como si iluminaras un haz de luz intensa en un gráfico y luego examinaras el espectro de colores que aparecen", explica Zhao. "Descubrimos que el espectro emitido nunca puede estar demasiado concentrado cerca de la parte superior. Resulta que este hecho fundamental sobre los espectros de los gráficos nunca se ha observado".

   El trabajo proporciona un nuevo teorema en la teoría de grafos espectrales: que un grafo de grados acotado debe tener una multiplicidad sublineal de segundos valores propios. La demostración requiere conocimientos inteligentes que relacionen el espectro de un gráfico con el espectro de pequeñas partes del gráfico.

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